Pour tout nombre réel $x$, on a $|f(x)|^2=(1+x^2)^{-1}$, donc $|f|^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ et c'est est un $o(x^{-2})$ lorsque $|x|$ tend vers $+\infty$, donc $f$ est de carré intégrable (on peut aussi donner de façon immédiate la valeur de l'intégrale de $|f|^2$ sur $\mathbb{R}$). On peut remarquer que $f$ n'est pas dans $L^1(\mathbb{R})$.

On peut regarder chaque orbite avec une action spécifique du groupe G. Sachant que orb(x) est le G-ensemble (ensemble sur lequel agit G) transitif G/stab(x) ou stab(x) est le sous-groupe stabilisateur de x, pour l'action naturelle à gauche induite par le produit dans G). On peut très bien choisir le groupe Z/12Z avec l'action suivante : Sur l'orbite {1;8} : les classes de nombres pairs stabilisent 1 et 8 (action triviale). Les classes impaires les permutent. Sur l'orbite {3;4;6} : les classes multiples de 3 agissent trivialement, les classes congrues à 1 modulo 3 opèrent par le cycle (3;4;6), celles congrues à 2 modulo 3 par le carré de ce cycle soit (3;6;4)... Sur l'orbite {2;5;7;9}, de même en regardant les classes d'entiers modulo 4 en associant à 1 l'action donnée par la permutation circulaire (2;5;7;9) et ses puissances successives associées à 2, 3. Enfin Z/12Z agit trivialement sur {10}.

$91=7\times 13$. Étudier le sous-groupe du groupe multiplicatif engendré par $2$. Son cardinal est un diviseur de $6\times 12$ (indicatrice d'Euler ou théorème chinois : $\mathbb{Z}/91\mathbb{Z}$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}=\mathbb{F}_7\times \mathbb{F}_{13}$) et c'est $12$... Or, $2021$ est congru à $5$ modulo $12$. Ainsi $2^{2031}=32$ dans $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.

Pour tout nombre réel $x$, on a $|f(x)|^2=(1+x^2)^{-1}$, donc $|f|^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ et c'est est un $o(x^{-2})$ lorsque $|x|$ tend vers $+\infty$, donc $f$ est de carré intégrable (on peut aussi donner de façon immédiate la valeur de l'intégrale de $|f|^2$ sur $\mathbb{R}$). On peut remarquer que $f$ n'est pas dans $L^1(\mathbb{R})$.

Faux. Si tel était le cas, ces deux fonctions seraient prolongeables en fonctions méromorphes sur le plan complexe. Puis, par le principe du prolongement analytique, elles coïncideraient sur tout ouvert de $\mathbb{C}$ où elles sont définies. Cela affirmerait alors que la fonction exponentielle sur $\mathbb{C}$ a des pôles ou des zéros, ce qui est impossible.

En pré-requis, une union dénombrable d'ensembles au-plus dénombrables est dénombrable. $\mathbb{Q}[X]$ est un ensemble dénombrable, c'est l'union des $\mathbb{Q}_n[X]$ (polynômes de degrés au plus $n$), $\mathbb{Q}_n[X]$ est équipotent à $\mathbb{Q}^{n+1}$, équipotent à $\mathbb{Q}$, donc à $\mathbb{N}$. Pour tout $P$ dans $\mathbb{Q}(X)$, $P^{-1}(\{0\})$ est une partie finie de $\mathbb{C}$. $A$ est l'union de telles parties lorsque $P$ décrit $\mathbb{Q}[X]$. C'est une union dénombrable d'ensembles finis. Donc $A$ est dénombrable.