Une matrice nilpotente est une matrice triangulaire strictement supérieure ou strictement inférieure donc son déterminant est nul puisqu'il est le produit des coefficients diagonaux. Ainsi, une matrice nilpotente n'est pas inversible.

Trivial par propriété de morphisme de f et par linéarité du déterminant.

On peut regarder chaque orbite avec une action spécifique du groupe G. Sachant que orb(x) est le G-ensemble (ensemble sur lequel agit G) transitif G/stab(x) ou stab(x) est le sous-groupe stabilisateur de x, pour l'action naturelle à gauche induite par le produit dans G). On peut très bien choisir le groupe Z/12Z avec l'action suivante : Sur l'orbite {1;8} : les classes de nombres pairs stabilisent 1 et 8 (action triviale). Les classes impaires les permutent. Sur l'orbite {3;4;6} : les classes multiples de 3 agissent trivialement, les classes congrues à 1 modulo 3 opèrent par le cycle (3;4;6), celles congrues à 2 modulo 3 par le carré de ce cycle soit (3;6;4)... Sur l'orbite {2;5;7;9}, de même en regardant les classes d'entiers modulo 4 en associant à 1 l'action donnée par la permutation circulaire (2;5;7;9) et ses puissances successives associées à 2, 3. Enfin Z/12Z agit trivialement sur {10}.

$91=7\times 13$. Étudier le sous-groupe du groupe multiplicatif engendré par $2$. Son cardinal est un diviseur de $6\times 12$ (indicatrice d'Euler ou théorème chinois : $\mathbb{Z}/91\mathbb{Z}$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}=\mathbb{F}_7\times \mathbb{F}_{13}$) et c'est $12$... Or, $2021$ est congru à $5$ modulo $12$. Ainsi $2^{2031}=32$ dans $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.

Pour tout nombre réel $x$, on a $|f(x)|^2=(1+x^2)^{-1}$, donc $|f|^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ et c'est est un $o(x^{-2})$ lorsque $|x|$ tend vers $+\infty$, donc $f$ est de carré intégrable (on peut aussi donner de façon immédiate la valeur de l'intégrale de $|f|^2$ sur $\mathbb{R}$). On peut remarquer que $f$ n'est pas dans $L^1(\mathbb{R})$.

Faux. Si tel était le cas, ces deux fonctions seraient prolongeables en fonctions méromorphes sur le plan complexe. Puis, par le principe du prolongement analytique, elles coïncideraient sur tout ouvert de $\mathbb{C}$ où elles sont définies. Cela affirmerait alors que la fonction exponentielle sur $\mathbb{C}$ a des pôles ou des zéros, ce qui est impossible.