Pourquoi 0,999… = 1 ?

La plupart des gens refusent d'y croire : 0,999… (avec une infinité de 9) est strictement égal à 1. Pas "presque" 1. Pas "infiniment proche" de 1. Exactement 1.

Preuve 1 — par les fractions :
1/3 = 0,333…
Donc 3 × 1/3 = 3 × 0,333… = 0,999…
Mais 3 × 1/3 = 1. Donc 0,999… = 1.

Preuve 2 — par la soustraction :
Soit x = 0,999…
Alors 10x = 9,999…
10x − x = 9,999… − 0,999… = 9
Donc 9x = 9, soit x = 1.

Le malaise vient de notre intuition : on imagine 0,999… comme un nombre qui "s'approche" de 1 sans jamais l'atteindre. Mais en mathématiques, une limite atteinte est une égalité.