Dans cet article, nous présentons une démonstration (d'Euclide) du fait qu'il existe une infinité de nombres premiers.
Prérequis
Prérequis n°1 : définition de nombre premier
Un nombre premier est un nombre entier strictement supérieur à $1$ dont les seuls diviseurs sont $1$ et lui-même. Par exemple, $13$ est un nombre premier car $13$ n'admet que $1$ et $13$ comme diviseurs.
Prérequis n°2 : raisonnement par l'absurde
En mathématiques, le raisonnement par l'absurde est un type de raisonnement dans lequel on démontre une proposition en prouvant l'absurdité de la proposition complémentaire (plus de détails sur Wikipedia).
Prérequis n°3 : théorème
Si $n$ est un nombre entier naturel strictement supérieur à $1$, alors $n$ admet au moins un diviseur premier.
La démonstration
Supposons par l'absurde qu'il existe un nombre fini de nombres premiers, que l'on note $p_1,p_2,p_3,\cdots,p_n$ avec $n\in\mathbb{N}$.
Posons $p=p_1p_2p_3\cdots p_n+1$.
Comme $p$ est strictement supérieur à $1$, $p$ admet un diviseur premier d'après le théorème du prérequis n°3. Ce nombre premier peut être noté $p_k$ et appartient à liste de nombres premiers donnée en début de démonstration.
Comme $p_k$ divise $p$ et $p_k$ divise $p_1p_2p_3\cdots p_n$, alors $p_k$ divise aussi $p-p_1p_2p_3\cdots p_n$. Or, $p-p_1p_2p_3\cdots p_n=1$ (par définition de $p$) donc $p_k$ divise $1$, ce qui est absurde !
On en conclut que l'ensemble des nombres premiers ne peut pas être un ensemble fini : il existe donc une infinité de nombres premiers.