Dans cet article, nous présentons plusieurs preuves (plus ou moins rigoureuses) de l'égalité $0,9999...=1$.

Preuve n°1

Partons de l'égalité $0,3333...=\frac{1}{3}$

On en déduit que : $3\times 0,3333...=3\times\frac{1}{3}$

Puis que $0,9999...=1$

Preuve n°2

Commençons par poser $x=0,9999...$

Ainsi, $10x=9,9999...$

Puis $10x-x=9,9999...-x$

Puis $9x=9,9999...-0,9999...$ car $x=0,9999...$

Finalement, $9x=9$ et donc $x=1$. On a montré que $x=0,9999...=1$.

Preuve n°3

Écrivons $0,9999...=0,9+0,09+0,009+\cdots=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{9}{10^i}$.

Calculons maintenant ;

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{9}{10^i}=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,9\times\frac{1-(\frac{1}{10})^n}{1-\frac{1}{10}}=0,9\times\frac{1}{0,9}=1$

Finalement, $0,9999...=1$ !

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