Il existe différentes démonstrations de l'irrationnalité de $\sqrt{2}$. Dans cet article, nous en présentons une qui utilise un raisonnement par l'absurde.
Prérequis
Prérequis n°1 : définition de la racine carrée
La racine carrée d'un nombre positif $x$ est l'unique nombre réel positif qui lorsqu'il est multiplié par lui-même est égal à $x$. On le note $\sqrt{x}$. Par exemple, la racine carrée de $9$ est $3$ car $3\times 3=9$. On peut noter $\sqrt{9}=3$.
Prérequis n°2 : définition d'un nombre rationnel
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs. Tout nombre rationnel a une infinité d'écritures de la forme $\frac{a}{b}$ mais l'une d'entre elle est importante : lorsque $a$ et $b$ sont premiers entre eux (on parle de fraction irréductible). Par exemple, $1,4$ est bien un nombre rationnel car il peut s'écrire sous la forme $\frac{14}{10}$. Mais de nombreuses autres fractions sont aussi égales à $1,4$, comme $\frac{28}{20}$. Mis sous forme de fraction irréductible, on obtient $\frac{7}{5}$.
Nous allons démontrer que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel, c'est-à-dire que c'est un nombre réel qui n'est pas un nombre rationnel.
Prérequis n°3 : raisonnement par l'absurde
En mathématiques, le raisonnement par l'absurde est un type de raisonnement dans lequel on démontre une proposition en prouvant l'absurdité de la proposition complémentaire (plus de détails sur Wikipedia).
Prérequis n°4 : propriété
On considère un nombre entier $n$. Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
La démonstration
Étape n°1 : Supposition par l'absurde
Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs. On a alors $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$.
Étape n°2 : Mise sous forme irréductible
Écrivons $\sqrt{2}$ sous la forme d'une fraction irréductible (on peut imaginer que l'on simplifie $\frac{a}{b}$ si nécessaire). On obtient alors $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des nombres entiers relatifs qui sont premiers entre eux.
Étape n°3 : Parité de $p$
De l'égalité $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, on déduit (en élevant au carré) que $2=\frac{p^2}{q^2}$ et donc que $p^2=2q^2$. Ainsi, $p^2$ est pair et d'après la propriété du prérequis n°4, on en déduit que $p$ est un nombre pair. Il peut donc s'écrire sous la forme $p=2k$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
Étape n°4 : Injection dans l'égalité $p^2=2q^2$
En remplaçant $p$ par $2k$, on obtient $(2k)^2=2q^2$ soit $4k^2=2q^2$ ou encore $2k^2=q^2$.
Étape n°5 : Parité de $q$
Comme $q^2=2k^2$ on en déduit que $q^2$ est un nombre pair. Toujours d'après le prérequis n°4, on déduit que $q$ est pair.
Étape n°6 : Contradiction et conclusion
Dans l'étape n°3, on a démontré que $p$ est un nombre pair. Dans l'étape n°5, on a démontré que $q$ est aussi un nombre pair. Ils sont donc tous les deux divisibles par $2$ et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de $1$ et $-1$). Ceci est une contradiction (étape n°2). Ainsi, $\sqrt{2}$ ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.