Formules essentielles du collège au supérieur, conformes aux programmes officiels. Cherche, révise, retiens.
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📐 Géométrie plane — aires & périmètres
Carré
P = 4c | A = c²
c = côté. Périmètre et aire.
Rectangle
P = 2(l + L) | A = l × L
l = largeur, L = longueur.
Triangle
A = (b × h) / 2
b = base, h = hauteur correspondante.
Trapèze
A = (B + b) × h / 2
B, b = bases parallèles, h = hauteur.
Disque
A = π r² | C = 2π r
r = rayon. A = aire, C = circonférence.
Losange
A = (d × D) / 2
d, D = diagonales (perpendiculaires).
Arc de cercle
l = (α / 360) × 2π r
α = angle en degrés, r = rayon.
Secteur angulaire
A = (α / 360) × π r²
Aire du secteur d'angle α (degrés).
📦 Volumes & surfaces des solides
Cube
V = c³ | A_tot = 6c²
c = arête.
Pavé droit
V = l × L × h
l, L, h = dimensions.
Cylindre
V = π r² h | A_lat = 2π r h
r = rayon de la base, h = hauteur.
Cône
V = (1/3) π r² h
r = rayon de la base, h = hauteur.
Pyramide
V = (1/3) × A_base × h
A_base = aire de la base, h = hauteur.
Sphère
V = (4/3) π r³ | A = 4π r²
r = rayon.
Prisme droit
V = A_base × h
A_base = aire de la section droite.
Boule
V = (4/3)π r³
Intérieur de la sphère.
📏 Théorèmes de géométrie
Pythagore
c² = a² + b²
Triangle rectangle : c = hypoténuse.
Réciproque Pythagore
c² = a² + b² ⟹ angle droit en C
Permet de montrer qu'un triangle est rectangle.
Thalès
AB / AD = AC / AE = BC / DE
D ∈ [AB], E ∈ [AC], DE ∥ BC.
Réciproque Thalès
AB/AD = AC/AE ⟹ DE ∥ BC
Prouve le parallélisme.
Somme angles triangle
α + β + γ = 180°
Valable pour tout triangle.
Angles alternes-internes
α = α'
Formés par deux parallèles et une sécante.
Angles correspondants
α = α'
Même position par rapport à la sécante.
Triangle isocèle
Les angles à la base sont égaux
Si AB = AC alors ∠B = ∠C.
📐 Trigonométrie dans le triangle rectangle
Sinus (SOH)
sin A = côté opp / hypoténuse
mnémo : SOH.
Cosinus (CAH)
cos A = côté adj / hypoténuse
mnémo : CAH.
Tangente (TOA)
tan A = côté opp / côté adj
mnémo : TOA.
Lien sin/cos
sin²A + cos²A = 1
Identité fondamentale.
Valeurs — 30°
sin 30° = 1/2 cos 30° = √3/2
tan 30° = 1/√3.
Valeurs — 45°
sin 45° = cos 45° = √2/2
tan 45° = 1.
Valeurs — 60°
sin 60° = √3/2 cos 60° = 1/2
tan 60° = √3.
🔢 Calcul numérique
Priorités opératoires
( ) > × / > + −
Parenthèses d'abord, puis × et /, puis + et −.
Puissances — produit
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
Même base : on additionne les exposants.
Puissances — quotient
aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
Même base : on soustrait les exposants.
Puissance nulle
a⁰ = 1 (a ≠ 0)
Tout nombre non nul à l'exposant 0 vaut 1.
Puissance négative
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Exposant négatif = inverse.
Notation scientifique
a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10)
Exemple : 6,02 × 10²³.
Racine carrée
√(a×b) = √a × √b
a, b ≥ 0.
Simplification de fraction
a/b = (a÷k) / (b÷k)
k = diviseur commun.
Vitesse
v = d / t
d = distance (km), t = temps (h).
Pourcentage
p % de x = x × p / 100
Calcul d'une proportion.
Taux de variation
t = (V_f − V_i) / V_i
Variation relative entre valeur initiale et finale.
Conversion d'unités
1 m² = 10 000 cm² 1 m³ = 10⁶ cm³
Attention aux puissances lors des conversions.
🔣 Algèbre & Équations
Identité remarquable 1
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Carré d'une somme.
Identité remarquable 2
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Carré d'une différence.
Identité remarquable 3
(a + b)(a − b) = a² − b²
Produit de conjugués.
Distributivité simple
a(b + c) = ab + ac
Factoriser ou développer.
Équation 1er degré
ax + b = 0 ⟹ x = −b/a
Solution unique si a ≠ 0.
Inéquation
ax < b ⟹ x < b/a (si a > 0)
Inverser le sens si division par négatif !
Système 2×2 (substitution)
Isoler une inconnue, substituer dans l'autre
Méthode par substitution.
Système 2×2 (combinaison)
Multiplier et additionner pour éliminer
Méthode par combinaison linéaire.
📈 Fonctions & Représentations graphiques
Fonction affine
y = ax + b
a = coefficient directeur (pente), b = ordonnée à l'origine.
Coefficient directeur
a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Pente de la droite passant par deux points.
Fonction linéaire
y = ax (cas b = 0)
Passe par l'origine, proportionnalité.
Milieu d'un segment
M = ((xA+xB)/2 , (yA+yB)/2)
Coordonnées du milieu de [AB].
Distance entre 2 points
AB = √((xB−xA)² + (yB−yA)²)
Distance euclidienne dans le plan.
Vecteur AB
AB⃗ = (xB − xA ; yB − yA)
Coordonnées du vecteur.
Fonction carré
f(x) = x² (parabole)
Minimum en 0, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Translation
AM⃗ = u⃗ ⟹ M' = M + u⃗
Image par translation de vecteur u⃗.
📊 Statistiques & Probabilités
Moyenne
x̄ = (Σ xᵢ) / n
Somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.
Moyenne pondérée
x̄ = Σ(xᵢ × nᵢ) / Σ nᵢ
nᵢ = effectif associé à xᵢ.
Étendue
e = max − min
Mesure simple de dispersion.
Médiane
Valeur centrale de la série ordonnée
Sépare la série en deux moitiés.
Quartiles
Q1 (25 %) Q3 (75 %)
Intervalle IQ = Q3 − Q1.
Fréquence relative
f = nᵢ / n
nᵢ = effectif de la modalité, n = total.
Probabilité
P(A) = n_A / n_tot
Cas favorables / cas possibles équiprobables.
Événement contraire
P(Ā) = 1 − P(A)
La somme des probabilités complémentaires vaut 1.
Arbre de probabilités
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
Multiplier les probabilités le long d'une branche.
📈 Dérivées — tableau des fonctions usuelles
Constante
(k)' = 0
Dérivée de toute constante est nulle.
Monôme
(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹
n ∈ ℝ. Ex : (x⁴)' = 4x³.
Racine carrée
(√x)' = 1 / (2√x)
x > 0.
Inverse
(1/x)' = −1/x²
x ≠ 0.
Exponentielle
(eˣ)' = eˣ
L'exponentielle est sa propre dérivée.
Logarithme
(ln x)' = 1/x
x > 0.
Sinus
(sin x)' = cos x
x en radians.
Cosinus
(cos x)' = −sin x
x en radians.
📈 Dérivées — règles de calcul
Linéarité
(αu + βv)' = αu' + βv'
α, β constantes.
Produit
(uv)' = u'v + uv'
Règle du produit.
Quotient
(u/v)' = (u'v − uv') / v²
v ≠ 0.
Composée (chaîne)
(f∘g)' = g' × f'(g)
Règle de la chaîne.
eᵘ
(eᵘ)' = u' eᵘ
Composée avec exp.
ln(u)
(ln u)' = u' / u
u > 0.
uⁿ
(uⁿ)' = n u'uⁿ⁻¹
n ∈ ℝ.
√u
(√u)' = u' / (2√u)
u > 0.
∫ Primitives & Intégrales
Monôme
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
n ≠ −1.
Constante
∫ a dx = ax + C
Inverse
∫ (1/x) dx = ln|x| + C
x ≠ 0.
Exponentielle
∫ eˣ dx = eˣ + C
e^{ax}
∫ eᵃˣ dx = (1/a) eᵃˣ + C
a ≠ 0.
Sinus
∫ sin x dx = −cos x + C
Cosinus
∫ cos x dx = sin x + C
1/(ax+b)
∫ 1/(ax+b) dx = (1/a) ln|ax+b| + C
a ≠ 0.
Intégration par parties
∫ u'v = [uv] − ∫ uv'
À appliquer sur [a,b].
Valeur moyenne
μ = (1/(b−a)) ∫ₐᵇ f(x) dx
Valeur moyenne de f sur [a,b].
Aire entre deux courbes
A = ∫ₐᵇ (f − g) dx si f ≥ g
Unité d'aire = unité².
Signe de l'intégrale
Si f ≥ 0 sur [a,b], ∫ₐᵇ f ≥ 0
Positivité de l'intégrale.
📐 Trigonométrie
Identité fondamentale
cos²x + sin²x = 1
Valable pour tout x ∈ ℝ.
Tangente
tan x = sin x / cos x
x ≠ π/2 + kπ.
Parité
sin(−x) = −sin x cos(−x) = cos x
sin impaire, cos paire.
Périodicité
sin(x+2π) = sin x cos(x+2π) = cos x
Période 2π.
Complémentarité
sin(π/2−x) = cos x
Passage sin ↔ cos.
Addition (sin)
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
Formule d'addition.
Addition (cos)
cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b
Formule d'addition.
Double angle (sin)
sin(2a) = 2 sin a cos a
Formule de duplication.
Double angle (cos)
cos(2a) = cos²a − sin²a = 1 − 2sin²a
Formule de duplication.
Valeurs — π/6 (30°)
sin=1/2 cos=√3/2 tan=1/√3
Valeurs exactes.
Valeurs — π/4 (45°)
sin=cos=√2/2 tan=1
Valeurs exactes.
Valeurs — π/3 (60°)
sin=√3/2 cos=1/2 tan=√3
Valeurs exactes.
🔢 Fonctions Exponentielle & Logarithme
Propriétés ln (produit)
ln(ab) = ln a + ln b
a, b > 0.
Propriétés ln (quotient)
ln(a/b) = ln a − ln b
a, b > 0.
Propriétés ln (puissance)
ln(aⁿ) = n ln a
n ∈ ℝ, a > 0.
Valeurs clés ln
ln 1 = 0 ln e = 1
e ≈ 2,718…
Réciproques
ln(eˣ) = x e^{ln x} = x
Fonctions inverses l'une de l'autre.
Limites ln
ln x →+∞ (x→+∞) ln x →−∞ (x→0⁺)
Limites eˣ
eˣ →+∞ (x→+∞) eˣ → 0 (x→−∞)
Croissances comparées
xⁿ/eˣ → 0 (x → +∞)
eˣ domine tout polynôme.
x ln x en 0
x ln x → 0 (x → 0⁺)
ln x dominé par 1/x.
🔁 Suites
Arithmétique — terme
uₙ = u₀ + n r
r = raison.
Arithmétique — somme
Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2
Somme de n termes consécutifs.
Géométrique — terme
uₙ = u₀ × qⁿ
q = raison.
Géométrique — somme
Sₙ = u₀(1−qⁿ)/(1−q)
q ≠ 1.
Série géométrique
Σ qⁿ = 1/(1−q) si |q| < 1
Somme infinie convergente.
Somme des entiers
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2
1+2+…+n.
Somme des carrés
Σₖ₌₁ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+…+n².
Récurrence
Initialisation + Hérédité
Démontrer P(n) pour tout n ∈ ℕ.
📊 Probabilités & Statistiques
Probabilité conditionnelle
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
P(B) > 0.
Multiplication
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
Probabilités composées.
Événements indépendants
P(A∩B) = P(A) × P(B)
Critère d'indépendance.
Probabilités totales
P(A) = Σ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ)
{B₁,…,Bₙ} = partition de l'univers.
Formule de Bayes
P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ)P(Bᵢ) / P(A)
Probabilité a posteriori.
Combinaisons
C(n,k) = n! / (k!(n−k)!)
Nombre de choix de k éléments parmi n.
Loi binomiale
P(X=k) = C(n,k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ
X ~ B(n,p).
Espérance binomiale
E(X) = np
X ~ B(n,p).
Variance binomiale
Var(X) = np(1−p)
σ = √(np(1−p)).
Espérance (loi générale)
E(X) = Σ xᵢ P(X=xᵢ)
E(aX+b) = aE(X)+b.
Variance (König-Huygens)
Var(X) = E(X²) − (E(X))²
σ = écart-type = √Var.
Centrage-réduction
Z = (X − μ) / σ
X~N(μ,σ²) ⟹ Z~N(0,1).
Loi normale — 68 %
P(μ−σ < X < μ+σ) ≈ 0,68
Règle empirique des 1σ.
Loi normale — 95 %
P(μ−2σ < X < μ+2σ) ≈ 0,95
Règle des 2σ.
Loi normale — 99,7 %
P(μ−3σ < X < μ+3σ) ≈ 0,997
Règle des 3σ.
Intervalle de fluctuation
[p − 1/√n ; p + 1/√n]
Approximation 95 % pour une fréquence.
Intervalle de confiance
IC = [x̄ − 1,96σ/√n ; x̄ + 1,96σ/√n]
Estimation de μ à 95 %.
📏 Géométrie analytique & Vecteurs
Produit scalaire (coords)
u⃗·v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂
Plan. Aussi = |u||v| cos θ.
Perpendicularité
u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0
Critère via le produit scalaire.
Colinéarité
u⃗ ∥ v⃗ ⟺ x₁y₂ − x₂y₁ = 0
Déterminant nul.
Norme d'un vecteur
|u⃗| = √(x² + y²)
Longueur.
Droite — équation normale
ax + by + c = 0
Vecteur normal (a,b) ⊥ droite.
Distance point-droite
d = |ax₀+by₀+c| / √(a²+b²)
Point M(x₀,y₀), droite ax+by+c=0.
Vecteur directeur
Si pente a ⟹ vect. dir. (1 ; a)
Direction de la droite.
Espace — dist. 2 points
AB = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²)
Distance dans ℝ³.
Produit scalaire (espace)
u⃗·v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
Dans ℝ³.
Équation de plan
ax + by + cz + d = 0
(a,b,c) = vecteur normal au plan.
🔣 Limites & Continuité
Formes indéterminées
0/0 ∞/∞ 0×∞ ∞−∞
Doivent être levées.
TVI (zéro)
f continue, f(a)f(b)<0 ⟹ ∃c: f(c)=0
Existence d'une racine.
Limite — polynôme
Terme de plus haut degré domine
Comportement en ±∞.
Limite — fraction rationnelle
Diviser par la plus haute puissance
Technique standard.
Limite — e^x/xⁿ
eˣ/xⁿ → +∞ (x → +∞)
eˣ domine tout polynôme.
Règle de L'Hôpital
lim f/g = lim f'/g' (FI)
Si f,g → 0 ou ±∞ et g'≠0.
🔢 Algèbre linéaire
Déterminant 2×2
det(A) = ad − bc (A=[[a,b],[c,d]])
Inversible ⟺ det ≠ 0.
Inverse 2×2
A⁻¹ = (1/det A)[[d,−b],[−c,a]]
Si det A ≠ 0.
Déterminant 3×3 (Sarrus)
Σ diag. princ. − Σ diag. sec.
Règle de Sarrus.
Produit matriciel
(AB)ᵢⱼ = Σₖ AᵢₖBₖⱼ
Non commutatif en général.
Multiplicativité det
det(AB) = det(A) det(B)
Propriété fondamentale.
Trace
tr(A) = Σ aᵢᵢ = Σ λᵢ
Somme diagonale = somme des valeurs propres.
Équation caractéristique
det(A − λI) = 0
Donne les valeurs propres λ.
Vecteur propre
Av = λv (v ≠ 0⃗)
Associé à la valeur propre λ.
Théorème rang-nullité
dim E = rang(f) + dim(ker f)
Pour f : E → F linéaire.
Système de Cramer
x = det(Aₓ)/det(A)
Valable si det(A) ≠ 0.
Produit scalaire canonique
⟨u,v⟩ = Σ uᵢvᵢ
Dans ℝⁿ.
Inégalité de Cauchy-Schwarz
|⟨u,v⟩|² ≤ ⟨u,u⟩⟨v,v⟩
Conséquence du produit scalaire.
∫ Analyse — Séries, DL & Suites
Taylor-MacLaurin
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(0) xⁿ/n!
Développement en 0.
DL de eˣ (ordre n)
1 + x + x²/2! + … + xⁿ/n! + o(xⁿ)
Convergent sur ℝ.
DL de sin x
x − x³/6 + x⁵/120 − … + o(x⁶)
Termes impairs.
DL de cos x
1 − x²/2 + x⁴/24 − … + o(x⁵)
Termes pairs.
DL de ln(1+x)
x − x²/2 + x³/3 − … + o(xⁿ)
|x| ≤ 1, x ≠ −1.
DL de 1/(1−x)
1 + x + x² + x³ + … (|x|<1)
Série géométrique.
DL de (1+x)ᵅ
1 + αx + α(α−1)x²/2! + …
Binôme généralisé.
Critère ratio (D'Alembert)
|aₙ₊₁/aₙ| → L < 1 ⟹ converge
Convergence d'une série.
Critère racine (Cauchy)
ⁿ√|aₙ| → L < 1 ⟹ converge
Critère de Cauchy.
Stirling
n! ~ √(2πn)(n/e)ⁿ
Équivalent de n! pour n grand.
Comparaison séries-intégrales
Σf(n) et ∫f(x)dx : même nature
f décroissante positive.
∫ Intégrales avancées & EDO
Intégrale de Gauss
∫₋∞^{+∞} e^{−x²} dx = √π
Résultat fondamental.
Intégrale de Riemann
∫₁^{+∞} 1/xᵅ dx converge ⟺ α > 1
Référence pour les séries.
Leibniz
(∫ₐ^{g(t)} f(x)dx)' = g'(t) f(g(t))
Dérivation à borne variable.
EDO y' = ay
y = C eᵃˣ
Solution générale, C ∈ ℝ.
EDO y' + ay = b
y = b/a + C e^{−ax}
Équilibre b/a + transitoire.
EDO y'' + ω²y = 0
y = A cos(ωx) + B sin(ωx)
Oscillateur harmonique.
EDO y'' − ω²y = 0
y = A eᵒˣ + B e^{−ωx}
Solutions réelles.
Variation de la constante
y = C(x) eᵃˣ
Méthode de variation de la constante.
📊 Probabilités avancées
Espérance discrète
E(X) = Σ xᵢ P(X=xᵢ)
E(aX+b) = aE(X)+b.
Espérance continue
E(X) = ∫ x f(x) dx
f = densité de probabilité.
König-Huygens
Var(X) = E(X²) − (E(X))²
Formule pratique.
Covariance
Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y)
Var(X+Y) = VarX + VarY + 2Cov.
Corrélation
ρ(X,Y) = Cov(X,Y)/(σₓσᵧ)
|ρ| ≤ 1.
Markov
P(X ≥ a) ≤ E(X)/a
X ≥ 0, a > 0.
Bienaymé-Tchébychev
P(|X−μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²
Encadrement universel.
Loi de Poisson
P(X=k) = e^{−λ}λᵏ/k!
E(X) = Var(X) = λ.
Loi exponentielle
f(x) = λe^{−λx} (x≥0)
E(X) = 1/λ. Sans mémoire.
TCL
√n(x̄ₙ−μ)/σ →(loi) N(0,1)
Théorème Central Limite.
Loi des grands nombres faible
x̄ₙ →(proba) μ
Convergence en probabilité.
Intervalle de confiance
IC = x̄ ± z_{α/2} σ/√n
z_{0,025} = 1,96 pour 95 %.
Densité normale
f(x) = e^{−(x−μ)²/(2σ²)} / (σ√2π)
Courbe en cloche.
🔢 Arithmétique & Combinatoire
Algorithme d'Euclide
pgcd(a,b) = pgcd(b, a mod b)
Jusqu'au reste nul.
Identité de Bézout
∃ u,v ∈ ℤ : au + bv = pgcd(a,b)
Décomposition linéaire du pgcd.
Théorème de Gauss
a|bc et pgcd(a,b)=1 ⟹ a|c
Lemme fondamental.
Petit théorème de Fermat
aᵖ ≡ a (mod p), p premier
Congruences.
Arrangements
Aₙᵏ = n!/(n−k)!
k éléments ordonnés parmi n.
Combinaisons
C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)
k éléments non ordonnés parmi n.
Binôme de Newton
(a+b)ⁿ = Σₖ C(n,k) aᵏ bⁿ⁻ᵏ
Développement d'une puissance.
Inclusion-exclusion
|A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|
Généralise à n ensembles.
🌐 Nombres complexes & Transformées
Forme algébrique
z = a + bi |z| = √(a²+b²)
a = Re(z), b = Im(z).
Formule d'Euler
eⁱθ = cos θ + i sin θ
θ ∈ ℝ. Base de la forme exp.
Forme exponentielle
z = r eⁱθ
r = |z|, θ = arg(z).
Formule de Moivre
(eⁱθ)ⁿ = eⁱⁿθ
Permet de calculer sinⁿ, cosⁿ.
Racines n-ièmes de 1
ωₖ = e^{2iπk/n} (k=0,…,n−1)
n racines de zⁿ = 1.
Transformée de Fourier
F̂(ξ) = ∫ f(x)e^{−2πiξx} dx
Décomposition spectrale.
Transformée de Laplace
L{f}(s) = ∫₀^{+∞} f(t)e^{−st} dt
Outil pour les EDO.
Dérivée (Laplace)
L{f'}(s) = s·L{f}(s) − f(0)
Propriété fondamentale.
🔣 Structures algébriques
Groupe
Assoc. + neutre + inverse
(G, ★) groupe si ces 3 axiomes + fermeture.
Sous-groupe
H ≠ ∅, ∀a,b∈H : ab⁻¹ ∈ H
Critère compact.
Morphisme de groupes
f(a★b) = f(a)★'f(b)
Compatible avec la loi.
Anneau
(A,+,×) : groupe abélien + distr.
Exemple : ℤ, ℤ[X].
Corps
Anneau commutatif + tout non-nul inversible
ℝ, ℂ, ℚ sont des corps.
Espace vectoriel
Fermé par + et × scalaire (8 axiomes)
Sur un corps K.
Sous-espace vectoriel
F ⊂ E, F ≠ ∅, fermé par + et ×
Critère en 3 conditions.
Base & dimension
Famille libre génératrice
dim(E) = card d'une base.
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