Le nombre π — Monte Carlo, Archimède et la formule de Leibniz

Il est partout. Dans la circonférence d'un cercle, dans la formule de l'aire, dans les probabilités, en physique quantique, en statistiques. π ≈ 3,14159265… est sans doute le nombre le plus célèbre des mathématiques. Mais qu'est-il exactement, et comment peut-on le calculer ?

Qu'est-ce que π ?

π est défini comme le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Peu importe la taille du cercle — cette proportion reste toujours la même. C'est une propriété fondamentale de l'espace euclidien.

π est un nombre irrationnel : il ne peut pas s'écrire comme une fraction de deux entiers. Il est même transcendant, ce qui signifie qu'il n'est la racine d'aucun polynôme à coefficients entiers. Ses décimales ne se répètent jamais et n'ont aucun motif connu.

La méthode Monte Carlo : estimer π par le hasard

Voici une façon surprenante d'approcher π : on tire des points au hasard dans un carré de côté 2, centré à l'origine. On compte combien tombent à l'intérieur du cercle de rayon 1 inscrit dans ce carré.

L'aire du carré est 4. L'aire du cercle est π. La proportion de points dans le cercle est donc π/4. En multipliant par 4, on obtient une estimation de π.

Archimède et la méthode des polygones

Bien avant les ordinateurs, Archimède (287–212 av. J.-C.) a calculé π avec une précision remarquable. Son idée : encadrer le cercle entre deux polygones réguliers. Plus le polygone a de côtés, plus il ressemble au cercle — et on peut calculer exactement le périmètre d'un polygone.

Avec des polygones à 96 côtés, Archimède a obtenu : 3,1408... < π < 3,1428...

Des formules étonnantes pour π

Mathématiciens de toutes les époques ont découvert des formules reliant π à des sommes infinies de fractions simples. La plus célèbre est la formule de Leibniz :

Elle est magnifique mais converge très lentement — il faut des millions de termes pour obtenir quelques décimales. En pratique, on utilise des formules bien plus rapides, comme la formule de Machin (1706) ou, pour les records modernes, les algorithmes de Chudnovsky.

Une autre formule fascinante, découverte par Euler : la somme des inverses des carrés de tous les entiers vaut π²/6 (c'est le problème de Bâle).

π dans la nature et la physique

π n'est pas confiné à la géométrie. On le retrouve dans la formule de la distribution normale (la fameuse courbe en cloche), dans l'équation de Schrödinger en mécanique quantique, dans la formule d'Euler e^iπ + 1 = 0 (souvent élue la plus belle formule des mathématiques), et même dans la longueur des méandres des rivières.

Il apparaît aussi dans des contextes a priori sans cercle : la probabilité que deux entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est 6/π². L'infini et le hasard convergent vers π.