Les nombres premiers — atomes de l'arithmétique

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… Ces nombres ne se divisent que par 1 et par eux-mêmes. On les appelle les nombres premiers, et ils constituent l'un des sujets les plus profonds — et les plus mystérieux — des mathématiques depuis 2500 ans. Il est frappant qu'une définition aussi simple génère des questions qu'aucun mathématicien de l'histoire n'a résolues.

Les atomes de l'arithmétique

Le théorème fondamental de l'arithmétique stipule que tout entier supérieur à 1 se décompose de manière unique en produit de nombres premiers. Les premiers sont donc les "atomes" dont tous les entiers sont construits : 12 = 2²×3, 100 = 2²×5², 360 = 2³×3²×5. Si les premiers n'existaient pas, l'arithmétique entière s'effondrerait.

Le crible d'Ératosthène

Ératosthène de Cyrène (276–194 av. J.-C.) a inventé un algorithme élégant pour trouver tous les premiers jusqu'à N. On liste les entiers de 2 à N. Le plus petit non barré est premier — on barre tous ses multiples. On recommence. À la fin, les survivants sont exactement les premiers.

Il y a une infinité de nombres premiers

Euclide (∼300 av. J.-C.) a donné une démonstration restée dans les livres d'histoire des mathématiques. Supposons par l'absurde qu'il existe une liste finie de tous les premiers : p₁, p₂, …, pₙ. Considérons le nombre N = p₁ × p₂ × ⋯ × pₙ + 1. Ce N n'est divisible par aucun pᵢ (le reste de la division vaut toujours 1). Donc soit N est premier lui-même, soit il a un facteur premier qui n'était pas dans notre liste. Contradiction : la liste n'est jamais complète.

Répartition des premiers — le théorème des nombres premiers

Les premiers se raréfient à mesure qu'on monte dans les grands nombres. Mais à quelle vitesse ? Soit π(n) le nombre de premiers ≤ n. Hadamard et de la Vallée Poussin ont démontré en 1896 :

En pratique, l'approximation par le logarithme intégral Li(n) est encore plus précise. Mais même après un million de premiers, des mystères demeurent.

La spirale d'Ulam — une structure cachée

En 1963, Stanisław Ulam, pendant une réunion ennuyeuse, commence à disposer les entiers en spirale carrée et colorie les premiers. Il remarque avec stupéfaction que les premiers ont tendance à s'aligner sur des diagonales. Ce n'est pas une illusion : il existe des polynômes du second degré qui génèrent une densité remarquablement haute de premiers, ce qui crée ces alignements.

Conjectures non résolues

Les nombres premiers gardent des secrets que les meilleurs mathématiciens de tous les temps n'ont pas percés.

La conjecture de Goldbach (1742) : tout entier pair supérieur à 2 est la somme de deux premiers. Vérifiée jusqu'à 4 × 10¹⁸ par ordinateur, jamais démontrée.

La conjecture des jumeaux : il existerait une infinité de paires (p, p+2) toutes deux premières — comme (11,13), (17,19), (41,43). En 2013, Zhang a prouvé qu'il existe une infinité de paires de premiers distants d'au plus 70 millions. Ce bond a été réduit à 246 en quelques semaines de travail collaboratif. Mais "2" reste hors de portée.

L'hypothèse de Riemann (1859) concerne la distribution exacte des premiers via la fonction zêta. C'est l'un des 7 problèmes du millénaire — un million de dollars à la clé. Toujours ouverte.