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Paradoxes Probabilités Infini 20 January 2026

Paradoxes mathématiques — résultats vrais mais impossibles à croire

Monty Hall, le problème des anniversaires, Zénon, Banach-Tarski, l'ensemble de Cantor, la série de Bâle. Six paradoxes qui prouvent que notre intuition peut radicalement se tromper — même en mathématiques.

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Probabilités

Le paradoxe de Monty Hall

Changer de porte double vos chances de gagner. Presque personne ne le croit.

Un animateur vous présente trois portes. Derrière l'une se trouve une voiture, derrière les deux autres : des chèvres. Vous choisissez la porte n°1.

L'animateur, qui sait où est la voiture, ouvre alors une autre porte — toujours une chèvre. Il vous propose de changer. Devriez-vous ?

La réponse mathématique : oui, toujours. Changer vous donne 2/3 de chances de gagner. Rester n'en donne qu'1/3.

Au départ, votre porte a 1/3 de chances. Les deux autres portes ensemble ont 2/3. Quand l'animateur en ouvre une (forcément perdante), les 2/3 se « concentrent » sur la porte restante. Changer, c'est parier sur ces 2/3.

Choisissez une porte

Changé : 0W / 0L | Resté : 0W / 0L

Simulation interactive — jouez 20 fois

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Probabilités

Le paradoxe des anniversaires

Dans une classe de 23 élèves, il y a plus de 50 % de chances que deux aient le même anniversaire.

Avec 365 jours dans l'année, l'intuition dit qu'il faut environ 183 personnes pour avoir une chance sur deux. L'intuition a tort.

La probabilité qu'au moins deux personnes partagent leur anniversaire dans un groupe de n personnes est :

P(n) = 1 − (365 × 364 × … × (365−n+1)) / 365ⁿ

Dès 57 personnes, la probabilité dépasse 99 %.

NOMBRE DE PERSONNES DANS LE GROUPE

2 70

50.7%

de chances qu'au moins deux personnes
partagent leur anniversaire

Glissez pour explorer

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Infinis

Achille et la tortue

Zénon « prouve » qu'Achille ne peut jamais rattraper une tortue. Pourtant, il le fait.

Achille court 10× plus vite que la tortue. Il lui laisse 100 m d'avance. Le temps qu'il parcourt ces 100 m, la tortue avance de 10 m. Il parcourt ces 10 m — elle a avancé de 1 m. Puis 10 cm. Puis 1 cm…

À chaque étape, la tortue est toujours devant. Il y a une infinité d'étapes. Donc Achille ne rattrape jamais la tortue.

La résolution arrive avec le calcul infinitésimal : une somme infinie de termes peut converger vers un nombre fini. Ici, la série géométrique de raison 1/10 :

100 + 10 + 1 + 0,1 + … = 111,1̄

Série géométrique (raison r = 1/10), somme = a/(1−r) = 100 × 10/9

Achille rattrape la tortue exactement au bout de 111,1̄ mètres. Le paradoxe confondait « infinité d'étapes » avec « temps infini ».

Animation — convergence vers 111,1̄ m

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Topologie

Le paradoxe de Banach-Tarski

En théorie, on peut découper une sphère en 5 morceaux et les réassembler en deux sphères identiques à l'originale.

Démontré en 1924 par Stefan Banach et Alfred Tarski, ce théorème affirme qu'une boule de ℝ³ peut être décomposée en un nombre fini de parties, puis réassemblée (uniquement par rotations et translations) pour former deux boules de même volume.

Ce n'est pas de la physique — les « morceaux » sont des ensembles mathématiques tellement fractals et discontinus qu'ils n'ont pas de volume au sens ordinaire. C'est l'axiome du choix qui rend cette construction possible.

Les morceaux ne sont pas des objets physiques. Ce sont des ensembles de points si « sauvages » qu'ils ne peuvent pas être construits concrètement. En physique, la matière est discrète (atomes) — ce paradoxe est purement dans le continu mathématique.

1 → 2

Une sphère décomposée en 5 pièces → deux sphères identiques

Décomposition schématique (non euclidienne)

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Théorie des ensembles

Tous les infinis ne sont pas égaux

Il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers. Et pourtant il y a « plus » de réels que d'entiers.

Georg Cantor a montré en 1874 que certains infinis sont plus grands que d'autres. L'ensemble ℕ des entiers naturels est dénombrable — on peut les lister un par un. Sa taille s'appelle ℵ₀.

L'ensemble des réels entre 0 et 1 est non dénombrable. Sa taille, notée 𝔠, est strictement plus grande que ℵ₀.

La preuve : l'argument diagonal de Cantor. Supposez qu'on puisse lister tous les réels entre 0 et 1. Cantor construit alors un réel qui diffère du 1er sur son 1er chiffre décimal, du 2ème sur son 2ème chiffre… Ce réel n'est nulle part dans la liste. Contradiction.

Oui ! On associe chaque entier n à l'entier pair 2n : 0↔0, 1↔2, 2↔4, 3↔6… C'est une bijection parfaite. Les deux ensembles ont donc la même taille infinie ℵ₀. L'infini ne se comporte pas comme les nombres finis.

Ensemble de Cantor — subdivision récursive

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Analyse

Pourquoi 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π²/6 ?

La somme des inverses des carrés de tous les entiers fait apparaître π. Un pont mystérieux entre les entiers et les cercles.

Le problème de Bâle, posé en 1644, attendit 90 ans sa résolution. Euler le résolut en 1734 :

∑_n=1^∞ 1/n² = π²/6 ≈ 1,6449…

Somme infinie des inverses des carrés des entiers naturels

Qu'est-ce que π vient faire ici ? Les cercles semblent n'avoir aucun rapport avec les carrés des entiers. La preuve d'Euler, géniale, exploite le développement en série du sinus — une des connexions les plus inattendues des mathématiques.

Ce résultat appartient à ce que les mathématiciens appellent les « formules incompréhensiblement belles » — vraies, prouvées, et pourtant inexplicablement surprenantes.

Convergence animée de ∑ 1/n² vers π²/6

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