La suite de Fibonacci — des lapins au nombre d'or

En 1202, le mathématicien italien Leonardo Fibonacci publie le Liber Abaci, un traité qui va révolutionner les mathématiques européennes en introduisant les chiffres arabes. Mais c'est en posant un problème naïf sur des lapins qu'il va nommer une suite qui portera son nom pour toujours.

La question : si un couple de lapins produit un couple par mois à partir du deuxième mois, et que chaque nouveau couple fait de même, combien de couples après n mois ? La réponse donne une suite où chaque terme est la somme des deux précédents.

La spirale de Fibonacci — construire visuellement

On peut visualiser la suite en construisant une spirale de rectangles. On part d'un carré de côté 1, on en colle un autre côté à côté (1+1=2), puis on ajoute un carré de côté 2, puis 3, puis 5… Chaque nouveau carré a pour côté le dernier terme de Fibonacci. La spirale qui relie les coins de ces carrés est approximativement une spirale logarithmique — la même que dans les coquilles de nautile.

Le nombre d'or φ — la propriété la plus stupéfiante

Divisez n'importe quel terme de Fibonacci par le précédent. Peu importe lequel vous choisissez, les ratios convergent vers une valeur précise :

φ est irrationnel — ses décimales ne se répètent jamais. Il possède une propriété unique : c'est le nombre dont l'approximation par des fractions rationnelles converge le plus lentement. En d'autres termes, c'est le nombre "le plus irrationnel" qui existe — ce qui explique sa présence dans les arrangements naturels où l'espacement optimal est clé.

Fibonacci dans la nature

Tournez une pomme de pin dans les mains. Comptez les spirales dans un sens : 8. Dans l'autre sens : 13. Ce sont deux nombres de Fibonacci consécutifs. Sur un tournesol, on trouve typiquement 34 et 55 spirales. Sur un ananas, 8 et 13. Ce n'est pas un hasard : quand une plante produit de nouvelles feuilles ou graines en tournant d'un angle fixe par tour, l'angle qui maximise l'exposition au soleil tout en minimisant les chevauchements est exactement 360°/φ² ≈ 137,5° — l'angle d'or.

La formule de Binet — le terme n sans récurrence

On peut calculer le n-ième terme de Fibonacci directement, sans calculer tous les précédents :

C'est la formule de Binet (1843). Elle implique que F(n) est l'entier le plus proche de φⁿ/√5 — un entier calculé à partir d'une puissance d'irrationnels. Pour les grands n, ψⁿ devient négligeable et F(n) ≈ φⁿ/√5.

Propriétés remarquables

La suite de Fibonacci cache des trésors de propriétés. Quelques perles : la somme des n premiers termes vaut F(n+2) − 1. Le carré de F(n) plus le carré de F(n−1) vaut toujours F(2n−1). Et si on additionne les carrés des termes consécutifs, on obtient une autre suite de Fibonacci. La formule de Cassini : F(n−1)×F(n+1) − F(n)² = ±1 — cette différence alterne entre −1 et +1. C'est ce qui explique le paradoxe du carré de 64 pièces qui se "transforme" en rectangle de 65 pièces quand on le découpe en quatre morceaux.